1+1 이란

"1+1=2"라는 식은 초등학교 수준에서는 자명해 보이지만, 수학의 기초를 엄밀하게 다루는 수리논리학과 공리적 집합론의 관점에서는 상당한 정의와 추론 과정을 거쳐야 얻어지는 결과이다. 먼저 자연수 체계는 흔히 Giuseppe Peano의 페아노 공리(Peano Axioms)를 바탕으로 구성된다. 이 공리계에서는 0이라는 기본 원소와 후자 함수 S가 존재하며, 모든 자연수는 0에 후자 함수를 반복 적용하여 생성된다고 가정한다. 즉 1=S(0), 2=S(1), 3=S(2)와 같이 정의된다. 이후 덧셈은 직관적으로 주어지는 것이 아니라 재귀적 정의를 통해 형식화된다. 구체적으로 임의의 자연수 a에 대해 a+0=a, 그리고 a+S(b)=S(a+b)라는 두 규칙이 덧셈의 정의가 된다. 이제 1+1을 계산하려면 먼저 1=S(0)임을 이용한다. 따라서 1+1=1+S(0)이다. 덧셈의 두 번째 정의를 적용하면 이는 S(1+0)으로 변환된다. 다시 첫 번째 정의에 의해 1+0=1이므로 결과는 S(1)이 된다. 그런데 2는 애초에 S(1)로 정의되었으므로 S(1)=2이다. 따라서 논리적으로 1+1=2가 성립한다. 더 깊게 들어가면 자연수 자체도 집합으로 구성할 수 있다. 예를 들어 폰 노이만의 자연수 구성에서는 0=∅, 1={∅}, 2={∅,{∅}}와 같이 정의된다. 이 체계에서는 수가 단순한 기호가 아니라 특정 집합으로 해석되며, 후자 함수 역시 집합 연산으로 정의된다. 따라서 1+1=2라는 명제는 단순한 산술 계산이 아니라 집합론적 구조 위에서 성립하는 정리로 재해석된다. 실제로 Bertrand Russell과 Alfred North Whitehead는 《Principia Mathematica》에서 이러한 기초를 바탕으로 산술 명제를 엄밀히 증명하려 했으며, "1+1=2"에 도달하기까지 수백 페이지에 달하는 논리 전개를 사용했다. 즉 우리가 일상적으로 사용하는 "1+1=2"는 단순한 상식처럼 보이지만 상당한 과정을 거쳐야 하는 문제이다.