아빠도 이제 한계다. 그냥 나가 살아라 유전자 탓 사회탓 환경 탓하지 마라. 아빠도 엄마도 충분히 기다려줬다. 니 엄마나 나나 어려운 환경에서 컸고 먹고살기만 해도 바쁘고 힘든 시절이라 부모의 사랑을 많이 못 받고 자랐다 그래서 결혼할때 우리 자식만은 행복하게 키우자고 약속했다. 너에게 언제나 최고는 아니더라도 최선을 다해주고 싶었다. 내가 먹고 입을거 참으며 네 옷, 먹는거, 교육 모두 좋은 조건을 누리게 해주고 싶었다 네가 방황하거나 철없이 굴때도 앞에선 혼냈지만 뒤 에서는 우리가 못해줘서 그런가보다 하며 네 엄마랑 많이 울었다 그래도 자식은 나보다 나은 삶을 살겠지 나보단 선택의 자유를 누릴 수 있겠지.이 생각만 하며 꼭 참으며 세월을 보냈다 그런데 이게 뭐냐? 너 나이가 몇인지알긴하냐? 도대체 그 나이에 혼자서 할 줄 아는게 뭐냐? 늘 불만은 많으면서 실천하는게 뭐난 말이다.오늘 문득 우리가 닐잘못 키웠다는 생각이 든다. 거울을 보니 늙은 내 모습에 눈물이 나더라. 그냥. 이제 나가라. 나를 원망하지도 말고 니 힘으로 알아서 살아라. 아빠도 지쳤다 당장 짐싸라.
어머니의 뱃속부터 태어난지 12년 이젠 어느정도 자유로워질 나이 된거야 겨울방학 시작하고 그냥 겁나 놀았지 하지만 내인생 하나의 시련이 남았네 3월 개학 내인생의 위기 3월개학 고 투 더 헐 초대권 3월 개학 피할수 없는 시련 3월개학 밥이 절로 넘어간다 넘어간다 넘어간다 넘어간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 아 학교라니 학교 학교라니 학교 학교라니 나에게도 이런일이 아 가끔씩은 학생인게 후회되네 하지만 그건결국 현실 도피 네
"1+1=2"라는 식은 초등학교 수준에서는 자명해 보이지만, 수학의 기초를 엄밀하게 다루는 수리논리학과 공리적 집합론의 관점에서는 상당한 정의와 추론 과정을 거쳐야 얻어지는 결과이다. 먼저 자연수 체계는 흔히 Giuseppe Peano의 페아노 공리(Peano Axioms)를 바탕으로 구성된다. 이 공리계에서는 0이라는 기본 원소와 후자 함수 S가 존재하며, 모든 자연수는 0에 후자 함수를 반복 적용하여 생성된다고 가정한다. 즉 1=S(0), 2=S(1), 3=S(2)와 같이 정의된다.
이후 덧셈은 직관적으로 주어지는 것이 아니라 재귀적 정의를 통해 형식화된다. 구체적으로 임의의 자연수 a에 대해 a+0=a, 그리고 a+S(b)=S(a+b)라는 두 규칙이 덧셈의 정의가 된다. 이제 1+1을 계산하려면 먼저 1=S(0)임을 이용한다. 따라서 1+1=1+S(0)이다. 덧셈의 두 번째 정의를 적용하면 이는 S(1+0)으로
변환된다. 다시 첫 번째 정의에 의해 1+0=1이므로 결과는 S(1)이 된다. 그런데 2는 애초에 S(1)로 정의되었으므로 S(1)=2이다. 따라서 논리적으로 1+1=2가 성립한다.
더 깊게 들어가면 자연수 자체도 집합으로 구성할 수 있다. 예를 들어 폰 노이만의 자연수 구성에서는 0=∅, 1={∅}, 2={∅,{∅}}와 같이 정의된다. 이 체계에서는 수가 단순한 기호가 아니라 특정 집합으로 해석되며, 후자 함수 역시 집합 연산으로 정의된다. 따라서 1+1=2라는 명제는 단순한 산술 계산이 아니라 집합론적 구조 위에서 성립하는 정리로 재해석된다.
실제로 Bertrand Russell과 Alfred North Whitehead는 《Principia Mathematica》에서 이러한 기초를 바탕으로 산술 명제를 엄밀히 증명하려 했으며, "1+1=2"에 도달하기까지 수백 페이지에 달하는 논리 전개를 사용했다. 즉 우리가 일상적으로
사용하는 "1+1=2"는 단순한 상식처럼 보이지만, 수학의 가장 깊은 기초 영역에서는 공리, 집합, 논리 규칙, 재귀적 정의가 결합되어 도출되는 매우 정교한 결과인 것이다.
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💬 댓글 13
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겁나 긴 댓글.ㄹ 달아줌
아빠도 이제 한계다. 그냥 나가 살아라 유전자 탓 사회탓 환경 탓하지 마라. 아빠도 엄마도 충분히 기다려줬다. 니 엄마나 나나 어려운 환경에서 컸고 먹고살기만 해도 바쁘고 힘든 시절이라 부모의 사랑을 많이 못 받고 자랐다 그래서 결혼할때 우리 자식만은 행복하게 키우자고 약속했다. 너에게 언제나 최고는 아니더라도 최선을 다해주고 싶었다. 내가 먹고 입을거 참으며 네 옷, 먹는거, 교육 모두 좋은 조건을 누리게 해주고 싶었다 네가 방황하거나 철없이 굴때도 앞에선 혼냈지만 뒤 에서는 우리가 못해줘서 그런가보다 하며 네 엄마랑 많이 울었다 그래도 자식은 나보다 나은 삶을 살겠지 나보단 선택의 자유를 누릴 수 있겠지.이 생각만 하며 꼭 참으며 세월을 보냈다 그런데 이게 뭐냐? 너 나이가 몇인지알긴하냐? 도대체 그 나이에 혼자서 할 줄 아는게 뭐냐? 늘 불만은 많으면서 실천하는게 뭐난 말이다.오늘 문득 우리가 닐잘못 키웠다는 생각이 든다. 거울을 보니 늙은 내 모습에 눈물이 나더라. 그냥. 이제 나가라. 나를 원망하지도 말고 니 힘으로 알아서 살아라. 아빠도 지쳤다 당장 짐싸라.
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어머니의 뱃속부터 태어난지 12년 이젠 어느정도 자유로워질 나이 된거야 겨울방학 시작하고 그냥 겁나 놀았지 하지만 내인생 하나의 시련이 남았네 3월 개학 내인생의 위기 3월개학 고 투 더 헐 초대권 3월 개학 피할수 없는 시련 3월개학 밥이 절로 넘어간다 넘어간다 넘어간다 넘어간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 간다 아 학교라니 학교 학교라니 학교 학교라니 나에게도 이런일이 아 가끔씩은 학생인게 후회되네 하지만 그건결국 현실 도피 네
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김페이커트랄랄라퉁퉁퉁퉁퉁퉁퉁퉁퉁사후르봉준호손흥민BTS거북이와두루미삼천갑사동방삭치치카포사리사리센터워리워리세브리깡수천년지나마침내선택받은빛과어둠의영혼을가진바로그소년피카츄라이츄파이리꼬북이버터플야도란피죤투또가스서로생긴모습은달라도우리는모두친구산에서들에서때리고뒹굴고사막에서정글에서울다가웃다가서로생긴모습은달라도우리는모두친구울랄랄라내가원하는건너도원하고세상어디에도없는단하나뿐인이름으로불리길원하며불멸의영혼을간직한전사의후예라면땅치킨맥주삼겹살목창곱창막창순대국밥과치즈돈까스짜장면짬뽕탕수육팔보제볶음밥김치찌개된장찌개순두부찌개해물탕갈치조림고등어구이치즈버거피자파스타초밥사케사시미와와사비간장계밥마요네즈머스타드칠리소스대한민국서울특별시강남구역삼통살고싶지만지금은지방에사는평범한남자아이돌꿈나무이자미래의슈퍼스타월드클래스레전드히어로킹갓제네럴엠페러그레이트울트라슈퍼하이퍼익스트림파이널라스트드래곤워리어나이트로드마스터프린스오브다크니스앤라이트베스트컬렉션디럭스프리미엄골드에디션XXXL사이즈한정수량마지막남은희망을품은소년의이름
"1+1=2"라는 식은 초등학교 수준에서는 자명해 보이지만, 수학의 기초를 엄밀하게 다루는 수리논리학과 공리적 집합론의 관점에서는 상당한 정의와 추론 과정을 거쳐야 얻어지는 결과이다. 먼저 자연수 체계는 흔히 Giuseppe Peano의 페아노 공리(Peano Axioms)를 바탕으로 구성된다. 이 공리계에서는 0이라는 기본 원소와 후자 함수 S가 존재하며, 모든 자연수는 0에 후자 함수를 반복 적용하여 생성된다고 가정한다. 즉 1=S(0), 2=S(1), 3=S(2)와 같이 정의된다. 이후 덧셈은 직관적으로 주어지는 것이 아니라 재귀적 정의를 통해 형식화된다. 구체적으로 임의의 자연수 a에 대해 a+0=a, 그리고 a+S(b)=S(a+b)라는 두 규칙이 덧셈의 정의가 된다. 이제 1+1을 계산하려면 먼저 1=S(0)임을 이용한다. 따라서 1+1=1+S(0)이다. 덧셈의 두 번째 정의를 적용하면 이는 S(1+0)으로 변환된다. 다시 첫 번째 정의에 의해 1+0=1이므로 결과는 S(1)이 된다. 그런데 2는 애초에 S(1)로 정의되었으므로 S(1)=2이다. 따라서 논리적으로 1+1=2가 성립한다. 더 깊게 들어가면 자연수 자체도 집합으로 구성할 수 있다. 예를 들어 폰 노이만의 자연수 구성에서는 0=∅, 1={∅}, 2={∅,{∅}}와 같이 정의된다. 이 체계에서는 수가 단순한 기호가 아니라 특정 집합으로 해석되며, 후자 함수 역시 집합 연산으로 정의된다. 따라서 1+1=2라는 명제는 단순한 산술 계산이 아니라 집합론적 구조 위에서 성립하는 정리로 재해석된다. 실제로 Bertrand Russell과 Alfred North Whitehead는 《Principia Mathematica》에서 이러한 기초를 바탕으로 산술 명제를 엄밀히 증명하려 했으며, "1+1=2"에 도달하기까지 수백 페이지에 달하는 논리 전개를 사용했다. 즉 우리가 일상적으로 사용하는 "1+1=2"는 단순한 상식처럼 보이지만, 수학의 가장 깊은 기초 영역에서는 공리, 집합, 논리 규칙, 재귀적 정의가 결합되어 도출되는 매우 정교한 결과인 것이다.